音色と位相

今回は音程から離れて音色の話をしたいと思います。シンセサイザーなどで音色を作るときなど、音楽と物理学の1番の接点だと思います。

そもそも、音には「音量」「音程」「音色」の3つの要素があります。そして、音は空気の振動です。振動は数式で表すことができます。例えばこんな感じです。

y=Asinωt

A:振幅。音量に関係があります。

ω:角速度。周波数に比例しているので音程と関係しています。

t:時間。

sinωt:位相。音色と関係があります。

これまで周波数や音程について考察してきましたが、今回は位相や音色について考察したいと思います。

まず、全てのものが原子でできているのと同じように、全ての周期的な波は正弦波でできています。

○sinx+○sin2x+○sin3x+…+○cosx+○cos2x+○cos3x…

(それぞれの○に実数を入れる)

この式だけでピアノの音やトランペットの音、人間の声までも作ることができるんです。つまりこの式を使うことを約束していれば、○に何の数が入るかという情報だけで音をつくることができますよね。

例えば、最初の○に1、2番目の○に2、3番目の○に3…と入れていくと、ノコギリの刃のような形の波ができます。シンセサイザには欠かせない音ですね。

普通、数列を使って表現します。例えば音をこんな風に表すとします。

y=Σ[k=1→∞](An sin nx+Bn sin nx)

AnとBnは数列です。An=n、Bn=0とすれば、ノコギリ波になります。ちなみに、Σは総和と言って、nが1のとき、2のとき、3のとき、、、を無限に足していくという意味です。

そして、今まで何も断らずにxという変数を使っていましたが、これは一番上で説明したωとtをかけたものです。ωは2πfと同じ値をとるので、x=2πftと表せます。

f=440×2^(n/12)という式を「12分の1オクターブ」で出しました。nが混同してしまうので、こちらはf=440×2^(m/12)とします。

これまでのことを踏まえてノコギリ波をmとtで表すとこうなります。

y=Σ[n=1→∞] n sin 880πnt×2^(m/12)

この式に適当な音階mを入れると昔のゲームのような音を聞かせてくれるわけです。