12分の1オクターブ

いきなりですが、僕は一番最初の記事にこんな式を書きました。周波数fでmオクターブ高いラになる関係の式です。

f=440×2^m

この式で言い忘れていたことが一つあります。mは整数しか入らないんです。整数なら1でも2でも、100でも入れてもいいし、0でも-5とかでもいいんです。

ただ、mに整数でない数を入れてはいけません。例えばmに0.5を入れたら、それは「ラ」ではなくて「レ♯」になってしまいます。今回はこれについて考察したいと思います。

まず、音階はシャープとフラットを合わせて12個あります。そして「ラ」はm=0のとき、「高いラ」はm=1のときです。つまり1オクターブ、0から1までを単純に12等分すれば音階になりますよね。

ラ→m=0/12=0

ラ♯→m=1/12

シ→m=2/12=1/6

ド→m=3/12=1/4

ド♯→m=4/12=1/3

レ→m=5/12

レ♯→m=6/12=1/2

・

・

・

ソ→m=10/12=5/6

ソ♯→m=11/12

ラ(高いラ)→m=12/12=1

こうやって作った音階を平均律と言います。見てわかる方も多いと思いますが、前に「ハーモニーを物理学で奏でる」で書いた「簡単な整数の比」なんてものはガン無視です。mに入れる数は簡単な整数の比にはなっていますが、肝心の周波数は簡単どころか整数の比にすらなりません。

しかし、「だいたいは」協和音になります。あるところで妥協しないとピタゴラス音階みたいにうなりが目立ってしまうんです。

それではドの周波数を1としたときの平均律の音階の周波数の比とハーモニーを見比べてみましょう。

レ♯→1.19(短3度は1.2)

ミ→1.26(長3度は1.25)

ファ→1.33(完全5度は1.33)

ソ→1.50(完全5度は1.5)

ソ♯→1.60(長3度は1.6)

ラ→1.68(短3度は1.67)

誤差は0.01Hz以内で収まっています。100秒に1回か二回しかうなりがおきないので、「だいたいは」協和音になるんです。

次回は平均律を元にして音階を数学的に定義したいと思います。

ピタゴラスの初めてのドレミ

その昔、ギリシャに「全てのものは数でできている」と豪語する人がいました。かの有名なピタゴラスです。ピタゴラスは数が好きすぎて数を使った占いを作ったほどです。 そんなピタゴラスは数学だけでなく音楽の分野でも名を残しています。その名も「ピタゴラス音階」です。音階とは、ドレミのことです。西洋の音階は12個あります。ド、ド♯、レ、レ♯、ミ、ファ、ファ♯、ソ、ソ♯、ラ、ラ♯、シです。 ピタゴラスは弦を弾きました。ペンっと音がなります。今度は二つの弦を同時に弾きました。そうすると、弦の長さの比が1:2とか2:3のような「簡単な整数」になるときだけきれいにハモりました。 実は弦の長さは周波数に反比例している(詳しくは後で書きます)ので、弦の長さの比が簡単な整数なら周波数も簡単な整数の比になるんです。簡単な整数の比のときにハーモニーができるのは前回書いたのでそちらも参考にどうぞ。 ピタゴラスは1:2と2:3を使って音階、ドレミを作りました。作り方は簡単です。 1メートルでド 3/2メートルでソ (3/2)^2=9/4メートルでレ (3/2)^3=27/8メートルでラ ・ ・ ・ (3/2)^9メートルでレ♯ (3/2)^10メートルでラ♯ (3/2)^11メートルでファ (3/2)^12メートルでド(に近い音) 1メートルの弦でラの音が出るなら、3/2メートルでレ、その3/2の9/4メートルでソ、さらに3/2の27/8メートルでド…と12回続ければ出来上がり。これがピタゴラス音階です。数列で表すとこんな感じです。 Ln=(3/2)^(n-1) 数が大好きなピタゴラスの発見のおかげで、音楽のドレミが完成しました。しかし、ピタゴラスには悪いですが「ピタゴラス音階」は今はあまり使いません。なぜなら12回も3/2をつづけたら129.746...メートルとなって、いくら近いと言っても7オクターブ低いドの弦の長さの128メートルとうなりができてしまうからです。 最後に弦の長さと周波数の関係について書きます。弦にできる波の速さをv、弦の長さをLにしたとき、弦を弾いたときの音の周波数fはこんな感じです。 f=v/2L vは弦の種類とか弦を張る力で決まるので、ここでは式が簡単になるように2とします。 f=1/L つまり、弦の長さを2倍にすれば周波数は半分、3/2倍にすれば2/3倍になるんです。 次回はピタゴラス音階に変わる新しい音階、平均律を考察していきたいと思います。

ハーモニーを物理学で奏でる

こんにちは、今回はハーモニーを物理で考察したいと思います。

まずは音楽の話。ハーモニーとは、違う高さの音を同時に出すことです。ハーモニーには澄んだ「協和音」と濁った「不協和音」があり、それぞれをうまく使い分けることで音楽ができます。

物理学の話をします。二つの音を同時に出すと、例えば440Hzの音と442Hzの音を同時に出すと、その差の2Hzのうなりができます。この「うなり」が目立たないのが「協和音」、目立つのが「不協和音」ということです。

それでは、2つの音の協和音の種類を見ていきます。協和音の周波数の比と、それに対するうなりの比です。

周波数の比が1:2の和音(ドと高いド)→8度(うなり1、ド)

周波数の比が2:3の和音(ドとソ)→完全5度(うなり1、ド)

周波数の比が3:5の和音(ミとソ)→短3度(うなり2、ド)

周波数の比が4:5の和音(ドとミ)→長3度(うなり1、ド)

主にこの4つが協和音です。どれも簡単な整数の比になっています。簡単な整数の比にすることで、うなりも整数の比になって目立ちません。

上の表をよく見ると、うなりの音も合わせてドとミとソだけでも成り立ちますね。つまり、ドミソの3つの音を同時に出しても協和音になるのです。ドミソのハーモニーの周波数の比は4:5:6で、これと同じ周波数の比のハーモニーをメジャーコードと言います。

もう一つ、3つの音の協和音があります。周波数の比が1/4:1/5:1/6になるハーモニーで、これはマイナーコードと言います。

このハーモニーたちを元に昔の偉い人がドレミの音階を作っていくのですが、それを書くのは次回にしたいと思います。

初めまして。

tapと申します。2014年現在高校三年生の受験生です。中学の頃に音楽にハマり、高校では楽器を始めました。同時に、高校生では大きな選択をします。文理選択です。そして僕は理系を選び、数学や物理の面白さに触れています。

そういうわけでまだまだ未熟ではありますが、自分自身の備忘録も兼ねて数学や物理学の観点で見た音楽の考察を載せていきたいと思っています。

例えば、音は空気の振動です。空気が1秒間に440回揺れるとその揺れが鼓膜に届いて、人間には「ラ」の音が聞こえます。この1秒間に440回揺れることを「周波数が440Hzの音」と言います。

周波数が440Hzから2倍、4倍、8倍、つまり880Hz、1760Hz、3520Hzになると、人間には「一つ高いラ」、「二つ高いラ」、「三つ高いラ」に聞こえます。この周波数が2倍の関係、音階だと「ラ」と「一つ高いラ」の関係を「1オクターブ」と言います。「オクターブ」は音楽の言葉ですが、周波数がfのときに「mオクターブ高いラ」だとすると、

f=440×2^m

という数学の式で表すことができます。

数学や物理学の観点で音楽を見るとはこういうことです。受験勉強の気分転換にでも書いていきたいと思います。