勝手に音階を数で定義しました。

世の中には便利なものがたくさんあります。音を書くことができる「楽譜」とか、物理現象を数で表せる「公式」というのはそのいい例です。しかし、何か新しいことを始めようとしたとき、今までの概念で不便だと感じたとき、自分で新しい概念を作らなければいけません。とは言ってもこれからすることは難しい話ではありません。数学が嫌いでも音楽が好きなら結論だけ見れば理解できます。

前回、f=440×2^mの式を使って平均律の説明をしました。今回はこの式を少し変えます。

f=440×2^(n/12)

fは周波数、nは整数です。nに12で割って割り切れる数を入れると「ラ」、1余る数を入れると「ラ♯」、2余る数は「シ」…というようにnを12で割った余りで音階がわかるようになっています。この式をnをfで表す式に変形します。

n=12 log2(f/440)

そして、さらにこんな式を作ります。

n-3≡s (mod12)

この式は「n-3を12で割ったときの余りはs」ということです。sの単位は便宜上「半音」にします。この式にさっきのnをfで表す式を代入します。

12 log2(f/440) -3≡s (mod12)

だいぶ複雑な式になってしまいました。しかしこの式が言っていることは、sが0半音のときド、1半音のときド♯、2半音のときレ、3半音のときレ♯…ということです。0≦s<12で、sが整数でないときを考える予定は今のところありません。

これから数学や物理を使って音楽を考察していきたいので、音楽で使う「3度」や「5度」は計算に使いづらいです。なので、上の式で定義した変数sを使って考察していきたいと思います。

例えば、周波数4:5:6のハーモニー、メジャーコードはこれからはt半音、t+4半音、t+7半音のハーモニーと言います。t=0のときにドミソの和音、t=7のときにシレソの和音を表せます。いちいち周波数の話をしなくてもよくなりますね。